གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་དབྱེ་བ་དང་ནུས་པ་སྐྱེད་སྲིང་བྱེད་ཐབས།

[གནད་བཏུས] གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་རིགས་དབྱེ་ལ། མཚོན་རྟགས་སྐད་བརྡ་དང་ཡི་གེའི་སྐད་བརྡ། ད་དུང་མཚོན་རིས་རེའུ་མིག་སྐད་བརྡ་བཅས་ཡོད། དེ་དག་ནི་གྲངས་རིག་གི་བསམ་བློ་མཚོན་བྱེད་ཀྱི་སྐད་བརྡ་ཡིན་ལ། སྤྱི་མཚན་རང་བཞིན་དང་མདོར་བསྡུས་རང་བཞིན། ཡང་དག་རང་བཞིན་དང་རྣམ་པ་ཅན་གྱི་རང་བཞིན་སོགས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་ཡང་ཡོད། གྲངས་རིག་སྦྱོང་མཁན་ཞིག་ལ་མཚོན་ན་གྲངས་རིག་གི་བསམ་བློ་འཕེལ་རྒྱས་དང་།
གྲངས་རིག་ཤེས་བྱའི་ནུས་པ་སྐྱེད་སྲིང་བྱེད་པ་ནི་དོན་ཆེན་ཞིག་ཏུ་འཁུམས་པས། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་བརྗེ་འགྱུར་དང་སྐད་བརྡའི་མིང་ཚིག་དག་གི་གོ་བ་ལེན་པ་ལ་དོ་སྣང་བྱེད་པ་དང་། ཚད་ལྡན་གྱི་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་པ། བསླབ་དེབ་ཀློག་འདོན་གྱི་སྐད་བརྡ་ཡང་དག་མིན་སོགས་ནི་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་སྐྱེད་སྲིང་གི་ཁོངས་གཏོགས་དང་ཐབས་ལམ་ཡིན་པས། ཁོ་བོས་ནི་བགྲང་བྱ་བཅུ་ལྷག་གི་སློབ་ཆེན་གྲངས་རིག་སློབ་ཁྲིད་ཉམས་མྱོང་དང་འབྲེལ་ཏེ། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་དང་སྐྱེད་སྲིང་གི་ཐད་ནས་རང་བློས་གཞལ་ཚོད་ཀྱིས་བྲིས་ཡོད།

[གནད་ཚིག] གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ། དབྱེ་བ། ནུས་པ་སྐྱེད་སྲིང་།

དང་པོ། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་དོན་སྤྱི་དང་དེའི་དབྱེ་བ།

གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ཞེས་པ་ནི། གྲངས་རིག་གི་ཁོངས་སུ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་པའི་ཆེད་ལས་སྐད་བརྡ་ཞིག་ཡིན། དེ་ལ་ཡི་གེ་དང་ཨང་ཀི རིས་དབྱིབས་དང་གསལ་བྱེད། ད་དུང་མཚོན་རྟགས་སོགས་འདུས། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ནི་གྲངས་རིག་གི་འབྲེལ་བ་དང་རྣམ་པ་མཚོན་པའི་སྐད་བརྡ་ཞིག་ཡིན་པ་མ་ཟད། ད་དུང་གྲངས་དང་དབྱིབས་བར་གྱི་འབྲེལ་བ་རྟོགས་ཐུབ་པའི་ལག་ཆ་གཙོ་བོ་ཞིག་ཡིན། གྲངས་རིག་གི་བསམ་བློ་བརྗེ་རེས་བྱེད་པའི་ལག་ཆ་ཞིག་དང་། ཡང་ན་དོན་སྤྱི་ལ་གོ་བ་ལེན་པ་དང་། རིས་དབྱིབས་ལ་རྒྱུས་ལོན་བྱེད་པ། ལུགས་རྩིས་ཡང་དག་པར་ཡོང་བ་དང་། རིགས་འདེད་དང་ར་སྤྲོད་བྱེད་པར་མཁོ་བའི་གྲངས་རིག་གི་ལག་ཆ་གལ་ཆེན་ཞིག་ཡིན། དེ་ནི་བསླབ་ཚན་གྱི་རིགས་དབྱེའི་ཚད་ལས་བརྒལ་ཏེ། གང་རུང་གི་བསླབ་ཚན་ཁྲོད་ནུས་པ་འདོན་བཞིན་ཡོད་པས། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ནི་སྤྱིར་བཏང་སྐད་བརྡ་དང་མི་འདྲ་བར། དེ་ནི་གྲངས་རིག་རིག་ཚན་ཁོ་ནར་དབང་བའི་སྐད་བརྡ་དམིགས་བསལ་ཅན་ཞིག་ཡིན་པའང་ཞར་ལ་རྟོགས་ཐུབ།

གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ནི་རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་དང་མི་མཚུངས་པར། དེ་ནི་ལྐོག་གྱུར་རང་བཞིན་ལྡན་པའི་ཆེད་སྦྱོང་སྐད་བརྡ་ཞིག་དང་། མཚོན་རྟགས་ཀྱིས་གཙོ་བོར་མཚོན་པའི་སྐད་བརྡ་ཁྱད་པར་བ་ཞིག་ཡིན། ཞིབ་ཏུ་དབྱེ་ན། མཚོན་རྟགས་སྐད་བརྡ་དང་། ཡི་གེ་སྐད་བརྡ། མཚོན་རིས་རེའུ་མིག་སྐད་བརྡ་བཅས་རིགས་གསུམ་ཡོད་དེ།མཚོན་རྟགས་སྐད་བརྡ་ནི། གྲངས་རིག་ཤེས་བྱར་དམིགས་བསལ་དུ་ཡོད་པའི་མདོར་བསྡུས་ཀྱི་སྐད་བརྡ་ཞིག་ཡིན། དེ་ནི་མིའི་རིགས་ཀྱི་གྲངས་རིག་གི་བསམ་བློ་དུས་ཡུན་རིང་བོར་འཕེལ་བའི་གོ་རིམ་ཁྲོད་རིམ་གྱིས་ཆགས་པའི་སྐད་བརྡའི་རྣམ་པ་ཞིག་ཡིན། མཚོན་རྟགས་རྒྱ་ཆེར་བེད་སྤྱོད་བྱས་པས། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ནི་འཛམ་གླིང་སྟེང་གི་གཅིག་གྱུར་གྱི་སྐད་བརྡ་ཞིག་དང་ཡོངས་སུ་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་པའི་སྐད་བརྡ་ཞིག་ཏུ་གྱུར་ཡོད། གྲངས་རིག་མཚོན་རྟགས་ལ་རིགས་གསུམ་སྟེ། འདྲ་གཟུགས་མཚོན་རྟགས་དང་བསྡུས་འབྲི་མཚོན་རྟགས། གཏན་ལ་ཕབ་པའི་མཚོན་རྟགས་བཅས་ཡོད། འདྲ་གཟུགས་མཚོན་རྟགས་ནི། གྲངས་རིག་བྱ་ཡུལ་གྱི་བར་སྟོང་གནས་སའམ་ཡང་ན་གྲངས་ཚད་འབྲེལ་བ་དེ་སྤྱི་མཚན་གྱི་སྒོ་ནས་ཕྱོགས་བསྡོམས་བྱས་ནས་ཐོབ་པའི་གྲངས་རིག་གི་རིས་དབྱིབས་དང་མཚོན་རིས་ཡིན་ལ། དེ་དག་ཆུང་སྐུམ་དང་ཡང་ན་བརྗེ་རེས་བྱས་ནས་ཐོབ་པའི་གྲངས་རིག་མཚོན་རྟགས་ཤིག་ཡིན། དཔེར་ན། དབྱིབས་རྩིས་ཁྲོད་ཀྱི་མཚོན་རྟགས“△☉∠∥⊥”ཚང་མ་ནི། སྔོན་གྱི་རིས་དབྱིབས་དེ་ཆུང་སྐུམ་དུ་བཏང་བ་དང་བརྗེ་རེས་བྱས་ནས་གྲུབ་པ་ཡིན་པས། འདྲ་གཟུགས་མཚོན་རྟགས་ཀྱི་ཁོངས་སུ་གཏོགས། བསྡུས་འབྲི་མཚོན་རྟགས་ནི། གྲངས་རིག་དོན་སྤྱི་ནང་གི་དབྱིན་ཡིག་གི་མིང་ཚིག་དེ་བསྡུས་འབྲི་བྱས་ནས་ཐོབ་པའི་མཚོན་རྟགས་ཤིག་ཡིན། དཔེར་ན། རྟེན་འབྱུང་གྲངས(function)དང་། མུ་མཐའ(limit)དྲང་རྒྱུད(sime)ཆེས་ཆུང(minimad)མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད(cirumeference)བོངས་ཚད་(voiume)ཚང་མ་ནི་མཚོན་རྟགས་འདིའི་རིགས་ཡིན། གཏན་ལ་ཕབ་པའི་མཚོན་རྟགས་ནི། གྲངས་རིག་ཐུན་མོང་ཚོགས་པས་གཏན་ལ་ཕབ་ནས་གྲུབ་པ་ཡིན་ལ། དེ་ལ་གྲངས་རིག་བསམ་བློ་ཡི་ཡང་དག་རང་བཞིན་དང་སྟབས་བདེ་རང་བཞིན། འོས་འཚམ་རང་བཞིན་སོགས་ཡོད། དཔེར་ན། མཚོན་རྟགས“＋”“－”“×”“÷”“＞”“＜”“≌”ཚང་མ་འདིའི་ཁོངས་སུ་གཏོགས།

གྲངས་རིག་ཁྲོད་ཀྱི་ཡི་གེ་སྐད་བརྡ་ནི། གྲངས་རིག་གི་ཁྱད་ཆོས་མཚོན་པར་ནུས་ཤིང་དེའི་ངོ་བོ་ལྡན་པའི་རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་ཞིག་སྟེ། རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡའི་ཁྲོད་ཀྱི་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ཞེས་ཟེར་ན་ཡང་ཆོག དེ་ནི་གྲངས་རིག་མཚོན་རྟགས་དང་རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་གཉིས་ ཟུང་འབྲེལ་གྱི་རྣམ་པ་ཡིན། རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་ལས་སྣོན་དང་བསྐྱར་བཟོ། དེ་མིན་ཚོད་འཛིན་དང་ཇེ་ཞིབ་དག་ཏུ་བཏང་ནས་ཐོབ་པ་ཞིག་ཡིན། སློབ་འབྲིང་གྲངས་རིག་ཁྲོད་ཀྱི་དྲང་ཐིག་དང་ཡོངས་མཚུངས། བར་ཁོངས་ཚང་མ་ནི་རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་ཞིབ་ཏུ་བཏང་ནས་ཐོབ། ལྟོས་མེད་གྲངས་ཐང་། དཀྱིལ་ཐིག་ལུགས་ལྡན་གྲངས། ལུགས་མེད་གྲངས་ཚང་མ་ནི་རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་ལ་ཚོད་འཛིན་བྱས་པའི་མཇུག་འབྲས་རེད། རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་ནི་གྲངས་རིག་ཡི་གེའི་སྐད་བརྡ་བྱུང་བ་དང་འཕེལ་བའི་རྨང་གཞི་ཡིན་ལ། ད་དུང་དེས་ནང་དུ་རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་ཡི་བརྡ་སྤྲོད་རིག་པའི་ཆོས་ཉིད་སྔར་བཞིན་བེད་སྤྱོད་བྱས་ཡོད།
མཚོན་རིས་རེའུ་མིག་ཞེས་པ་ནི། གྲངས་རིག་གི་ཤེས་བྱ་འདུས་པའི་མཚོན་རིས་རེའུ་མིག་ལ་ཟེར། དེ་ལ་རིས་དབྱིབས་སྐད་བརྡ(དབྱིབས་རྩིས་རིས་དབྱིབས)དང་།དཔེ་རིས་སྐད་བརྡ(རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཀྱི་དཔེ་རིས)། ད་དུང་རེའུ་མིག་སྐད་བརྡ(གཞི་གྲངས་བསྡོམས་རྩིས་རེའུ་མིག)སོགས་རིགས་གསུམ་ཡོད། མཚོན་རིས་རེའུ་མིག་སྐད་བརྡ་ཡང་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ཡིན་ལ། དེ་ནི་གྲངས་རིག་ནང་གི་ཐད་མཐོང་རང་བཞིན་ལྡན་པའི་སྐད་བརྡ་ཞིག་ཡིན། དེར་མ་ཟད་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་གཞན་གཉིས་ལ་ཁ་གསབ་བྱས་པའི་སྐད་བརྡ་ཞིག་དང་།
མཚོན་རིས་རེའུ་མིག་དང་གྲངས་རིག་དོན་སྤྱི། ད་དུང་ཐ་སྙད་དང་མཚོན་རྟགས། གཞན་ཞིབ་འགྲེལ་ཚུལ་སོགས་ཀྱིས་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་མ་ལག་གྲུབ་པ་ཡིན།གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་རིགས་གསུམ་པོ་གང་ཡིན་ཡང་བཟང་ཆ་དང་ངན་ཆ་ཡོད་ལ། ཡི་གེའི་སྐད་བརྡ་གོ་བདེ་ཞིང་ཤེས་སླ་ལ། ཡིན་ཡང་ཞིབ་བརྗོད་བྱེད་པའི་སྐབས་སུ་ཤེས་བྱའི་སྒྲོམ་གཞིའི་གྲུབ་ཚུལ་དང་ནང་སྙིང་གསལ་བོ་མཚོན་མི་ནུས། གྲངས་རིག་མཚོན་རྟགས་སྐད་བརྡ་ཚིག་ཧ་ཅང་ཉུང་ལ་ཞིབ་བརྗོད་བྱེད་སྐབས་སྒྲོམ་གཞིའི་གྲུབ་ཚུལ་ལ་ཐད་ཀའི་ཚོར་སྣང་བསྐྲུན་ཐུབ།ཡིན་ཡང་མཚོན་རྟགས་སྐད་བརྡ་ལ་ལྐོག་གྱུར་རང་བཞིན་ལྡན་པས་ཧ་ཅང་གོ་དཀའ། མཚོན་རིས་རེའུ་མིག་སྐད་བརྡ་དེ་གཞན་གཉིས་ལ་མཚོན་ན། མིག་མཐོང་ལག་ཟིན་གྱིས་ཤེས་བྱའི་གནད་མངོན་ཐུབ། དེའི་ཕྱིར། གྲངས་རིག་ཁྲོད་དུ་བེད་སྤྱོད་བྱས་པའི་སྐད་བརྡ་རིགས་གསུམ་པོནི། རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་དང་ཕན་ཚུན་ཁ་གསབ་དང་མཉམ་འདུས་ཀྱིས་གྲུབ་པ་ཤ་སྟག་ཡིན།

གཉིས་པ། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ཁྱད་ཆོས་དང་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ།

གཅིག་ནས་གྲངས་རིག་ཁྲོད་ཀྱི་ཐ་སྙད་རེ་རེ་ལ་ཞིབ་ཅིང་དག་པའི་གོ་དོན་རེ་ཡོད། གོ་དོན་གསལ་མི་གསལ་དང་། ཡང་ན་བདེན་མི་བདེན་གྱི་བརྗོད་གཞི་གཏན་ནས་ཡོད་མི་ཆོག གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ཡི་རྗོད་སྟངས་དང་། དེའི་ནང་དོན་བར་འབྲེལ་བ་གཏན་འཁེལ་བ་ཡོད་ལ། གོ་རིམ་མི་འདྲ་བ་དང་ཡང་ན་ཡིག་འབྲུའི་མང་ཉུང་མི་འདྲ་ཚེ། སྐད་བརྡའི་གོ་དོན་གཏན་ནས་མི་འདྲ། དཔེར་ན། xཡི་རང་ཉིས་སྒྱུར་དང2ཡི་རངxསྒྱུར།དངསོགས་ཀྱི་གོ་དོན་གཏན་ནས་མི་མཚུངས། དེའི་རྐྱེན་གྱིས་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ལ་མདོར་བསྡུས་རང་བཞིན་དང་ཞིབ་དག་རང་བཞིན་གྱི་ཁྱད་ཆོས་ཡོད།སྐབས་འགར་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་གོ་དོན་ལ་གོ་བ་གཉིས་ཡན་ལེན་ཆོག་ཀྱང་། དེའི་དོན་སྙིང་ནི་ཁྱབ་མཉམ་དང་འདྲ་བ་ཡིན། དཔེར་ན།ཡི་གཞི་རྩའི་ནང་དོན་ནི། aདངbལ་འཚམ་པའི་མཚུངས་ཚུལ་ཞིག་ཡིན། ཡང་འདིaལ་འཚམ་པའི་མཉམ་བྱཡིན་ཟེར་ན་ཆོག་ཅིང་། དེར་མ་ཟདbལ་འཚམ་པའི་མཉམ་བྱ ཡིན་ཞེས་ནའང་ཆོག གོང་གསལ་གྱི་བཤད་ཚུལ་ཚང་མ་ཕན་ཚུན་ལ་འགལ་བ་ཅི་ཡང་མེད། ཡིན་ཡང་། ཚང་མ་འདི་ལྟར་བྱེད་མི་ཆོག་པ། དཔེར་ན། bནིcལས་མི་ཆེ་བ་དbནcལས་ཆུང་བ་ཞེས་ན་མི་ཆོག གཉིས་སུ་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ཡི་ཁྱད་ཆོས་ནི། མཚོན་རྟགས་རང་བཞིན་དང་རྣམ་པ་ཅན་གྱི་རང་བཞིན་ལྡན་ལ། རྣམ་པ་ཅན་གྱི་རང་བཞིན་དེ་འགྱུར་རྒྱུ
（变元）བེད་སྤྱོད་བྱས་པ་ལས་མངོན་ཐུབ། གྲངས་རིག་ཁྲོད་དུ་འགྱུར་རྒྱུ་བེད་སྤྱོད་བྱས་པའི་རྐྱེན་གྱིས་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡས་སྤྱིར་བཏང་གི་མཚན་ཉིད་དང་ཆོས་ཉིད་ཧ་ཅང་ཞིབ་ཚགས་ཀྱི་སྒོ་ནས་མཚོན་ཐུབ། དཔེར་ན། རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཉིས་མཉམ་བྱ ལྟ་བུ། འདིའི་དངོས་འཕངས་ཐིག་སྟེང་གི་ཚེག་ཚང་མ་མཉམ་བྱས་མཚོན་ཐུབ་ལ། དེ་བས་དངོས་འཕངས་ཐིག་སྟེང་གི་ཚེག་རེ་རེ་ཡི་གེའི་ངོས་ནས་གསལ་བཤད་བྱེད་མི་དགོས། གསུམ་དུ་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་དང་རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་ཕན་ཚུན་བསྡུར་ན། དེ་གཉིས་ཀྱི་བཀོལ་སྤྱོད་བྱ་ཡུལ་མི་འདྲ་ལ། གྲངས་རིག་སྤྱི་འགྲོས་འགྲེལ་བཤད་བྱེད་སྐབས། རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་ལྟར་ཚིག་སྒྲིག་པ་བཞིན་དུ་ཚིག་གི་བར་ལ་འཇུག་མི་ཐུབ་པར། དེར་མཚན་ཉིད་དང་དོན་སྤྱིའི་རིགས་འདེད་བརྒྱུད་ནས་གོ་བ་ལེན་དགོས། བཞི་རུ་རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡའི་ཁྲོད་ཀྱི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ལ། ཁོའི་དབྱིབས་དང་ཚུགས་ཀ་ཤེས་དགོས་པ་མ་གཏོགས། ཁོའི་རང་བཞིན་ཤེས་དགོས་པའི་ངེས་པ་མེད། ཡིན་ཡང་གྲངས་རིག་ཁྲོད་དུ་ཁོའི་དབྱིབས་དང་རྣམ་པ་ཤེས་དགོས་པ་མ་ཟད། ད་དུང་གོ་དོན་དང་རང་བཞིན་ཁྱད་ཆོས་ལ་སོགས་ཀྱང་ཤེས་དགོས། དེའི་རྐྱེན་གྱིས་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡར་རིགས་འདེད་ཀྱི་རང་བཞིན་མངོན་ལ། ཡིག་ངོས་ཁོ་ནས་གོ་བ་ལེན་མི་ཐུབ། ལྔ་རུ་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡར་ལྐོག་གྱུར་ཀྱི་རང་བཞིན་ཤིན་ཏུ་ཟབ་སྟེ། དཔེར་ན། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་རིགས་གསུམ་ཁྲོད་ལས་མཚོན་རྟགས་སྐད་བརྡ་ནི་ལྐོག་གྱུར་རང་བཞིན་ཆེས་ལྡན་པའི་སྐད་བརྡ་ཞིག་ཡིན། དཔེར་ན། འདྲི་གཞི་འདི་ལྟ་བུ་ཞིག་ཡོད་དེ། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མABCDཁྲོད།ཡིན་ན།ནི་ཏུའུ་ག་ཚོད་ཡིན་ལྟ་བུ། འདྲི་གཞི་འདིའི་ནང་དུ་ཡི་གེ་སྐད་བརྡ་མཚོན་པས། གོ་བ་ལེན་ཅུང་སླ་ཡང་། མཚོན་རྟགས་སྐད་བརྡ་ལ་ལྐོག་གྱུར་རང་བཞིན་ལྡན་པས་འདྲི་གཞི་འདིའི་ནང་གི་མཚོན་རྟགས་རེ་རེ་ལ་གོ་བ་ཟབ་མོ་ཞིག་བླངས་ན། ད་གཟོད་ཐག་གཅོད་ཐུབ། ཡང་དཔེར་ན། གལ་ཏེ་དངོས་ཡོད་གྲངསa,b,cནིཡིན་པ་མ་ཟད།ཡིན། དེས་ན་རྟེན་འབྱུང་གྲངསཡི་རིས་དབྱིབས་ཕལ་ཆེར་ཅི་འདྲ་ཞིག་ཡིན་པ་ལྟ་བུར་མཚོན་ན། མཚོན་རྟགས་སྐད་བརྡའི་ལྐོག་གྱུར་རང་བཞིན་ལྷག་པར་མངོན་ཡོད།

གལ་ཏེ་ལྐོག་གྱུར་རང་བཞིན་གྱི་བསམ་བློ་དང་འདུ་ཤེས་ཀྱིསa,b,cགསུམ་བར་གྱི་འབྲེལ་བ་དང་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཀྱི་དཔེ་རིས་ལ་རྒྱུས་ལོན་མ་བྱས་ན། གོང་གི་འདྲི་གཞི་འདི་ལྟ་བུར་བརྟེན་ནས་འགྲོལ་མི་ཐུབ།གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་ལ་གཤམ་གྱི་དབྱེ་བ་འགའ་ཡོད། གཅིག་ཏུ་གྲངས་རིག་ཁྲོད་ཀྱི་ངེས་སྲོལ་དང་མཚན་ཉིད། རང་བཞིན་དང་ཁ་བྱང་ལ་སོགས་ཚང་མ་ཡི་གེའི་སྐད་བརྡས་བཀོད་ཡོད། དེའི་རྐྱེན་གྱིས་སྐད་བརྡ་ཀློག་འདོན་བྱེད་པའི་ནུས་པ་ནི། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་ཡི་གྲུབ་ཆ་གཙོ་བོ་ཞིག་ཡིན། སྐད་བརྡ་ཀློག་འདོན་བྱེད་པའི་ནུས་པ་ནི། གྲངས་རིག་དོན་སྤྱི་དང་མཚོན་རྟགས། ད་དུང་དཔེ་རིས་ལ་གོ་བ་ལེན་པར་ཕན་པས། གྲངས་རིག་བརྗོད་གཞིར་གོ་བ་ལེན་པའི་ནུས་པར་བརྗོད་ལ། དེ་ཡང་སྐད་བརྡ་ཀློག་འདོན་གྱི་ནུས་པའི་ཆ་ཡང་དག་ཅིག་ཡིན། གཉིས་སུ་སྐད་བརྡར་གོ་བ་ལེན་པ་དེ་ནི། གྲངས་རིག་སློབ་སྦྱོང་ཁྲོད་ཀྱི་ཆེས་གནད་འགག་ཅིག་ཡིན། འདྲི་གཞི་འགྲོལ་བའི་རྨང་གཞི་དང་། གྲངས་རིག་སློབ་སྦྱོང་བྱེད་པའི་གོམ་པ་དང་པོ་ཡིན། འདྲི་གཞི་འགྲོལ་བའི་བརྒྱུད་རིམ་ཁྲོད་དུ། ཐོག་མར་ཁ་བྱང་གི་ནང་དོན་ལ་དབྱེ་ཞིབ་བྱས་ཏེ། ཤེས་ཟིན་པའི་ཆ་རྐྱེན་དང་མི་ཤེས་པ་འཚོལ་ཞིབ་བྱས་ཏེ་ཤེས་བྱའི་བར་གྱི་འབྲེལ་བར་བརྟེན་ན་འགྲོལ་ཐུབ། དེ་བས། སྐད་བརྡར་གོ་བ་ལེན་པའི་ནུས་པ་ནི། དོན་སྤྱི་གསར་པ་དང་མཚན་ཉིད་གསར་པ་དེ་རང་ཉིད་ཀྱི་བློ་ངོར་འཇགས་ཐུབ་པའི་ནུས་པ་ལ་ཟེར། དེས་གྲངས་རིག་ཐ་སྙད་ལ་གོ་བ་ལེན་པ་མ་ཟད། ད་དུང་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་བར་གྱི་འབྲེལ་བ་ལ་ཡང་གོ་བ་ལེན་ཐུབ། གསུམ་དུ་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་སྦྱོང་བའི་ཁྲོད་དུ། སྐད་བརྡ་ཕན་ཚུན་བར་བརྗེ་རེས་བྱེད་པ་ཧ་ཅང་གལ་ཆེན་ཡིན་ལ། སྐད་བརྡ་བརྗེ་རེས་བྱེད་པའི་ནུས་པ་ནི། ང་ཚོས་མཚོན་རྟགས་སྐད་བརྡ་དང་ཡི་གེ་སྐད་བརྡ། མཚོན་རིས་རེའུ་མིག་སྐད་བརྡ་ཕན་ཚུན་བརྗེ་རེས་བྱེད་པའི་ནུས་པ་ལ་གོ་དགོས། སྐད་བརྡ་རིགས་གསུམ་ཕན་ཚུན་བརྗེ་རེས་བྱེད་པ་དེ་ནི། གྲངས་རིག་སློབ་སྦྱོང་གི་ནུས་པ་མཐོར་འདེགས་གཏོང་བའི་ཐབས་གལ་ཆེན་ཞིག་ཡིན། བཞི་རུ་ཡང་དག་གི་སྒོ་ནས་གྲངས་རིག་ཁྲོད་ཀྱི་ལྟ་བ་དང་བསམ་བློ། ཐབས་དང་བརྒྱུད་རིམ། སྡོམ་ཚིག་ལ་སོགས་བརྗོད་ཐུབ་མིན་དེ་གྲངས་རིག་ཤེས་མིན་མཚོན་བྱེད་ཅིག་ཡིན། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་བརྗོད་སྟངས་ལ་ངག་ཐོག་གི་བརྗོད་པ་དང་ཡིག་ཐོག་གི་བརྗོད་པ་སྟེ་རིགས་གཉིས་ཡོད། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ལ་གཟབ་ནན་རང་བཞིན་གྱི་ཁྱད་ཆོས་ལྡན་པའི་རྐྱེན་གྱིས། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་བརྗོད་སྐབས་ཀྱང་ཚད་ལྡན་ཡོང་བ་དང་ཡང་དག་ཡོང་བར་བྱེད་དགོས། ལྔ་རུ་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ནི་ཐུན་མོང་མ་ཡིན་པའི་མཚོན་རྟགས་སྐད་བརྡ་ཞིག་ཡིན། གྲངས་རིག་ལ་སློབ་སྦྱོང་དང་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་སྐབས་མཚོན་རྟགས་དང་གཏན་ནས་ཁ་འབྲལ་ཐབས་མེད། ང་ཚོར་མཚོན་ན། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་དེ་མཐར་གཏུགས་ན་མཚོན་རྟགས་བཀོལ་སྤྱོད་བྱེད་པའི་ནུས་པ་ལ་རག་ལས་ཡོད།
གསུམ་པ། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་སྐྱེད་སྲིང་བྱེད་དགོས་པའི་གལ་ཆེན་རང་བཞིན།
 གྲངས་རིག་སློབ་སྦྱོང་བྱེད་པ་དེ་ནི་རྒྱུན་མི་ཆད་པར་དྲི་བ་འདོན་པ་དང་། དྲི་བར་དབྱེ་ཞིབ་བྱེད་པ། དེ་ནས་དྲི་བ་ཐག་གཅོད་བྱེད་པའི་བརྒྱུད་རིམ་ཞིག་ཡིན། འདིའི་བརྒྱུད་རིམ་གྱི་ཁྲོད་དུ། དངོས་ཡོད་ཀྱི་དྲི་བ་ཞིག་གྲངས་རིག་གི་དྲི་བར་ཕབ་སྟེ། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ལ་བརྟེན་ནས་ཞིབ་བརྗོད་དང་རིགས་འདེད་བྱས་ནས་དྲི་བ་ཐག་གཅོད་པ་ཡིན། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡས་དྲི་བ་མཚོན་དུས། དྲི་བར་གོ་བ་ལེན་པ་ཡང་དག་ཡོང་བ་མ་ཟད། འདྲི་གཞི་བཀྲོལ་བའི་རིགས་ལམ་གསལ་པས། རིགས་འདེད་སོགས་ལ་ཧ་ཅང་གལ་ཆེ། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡས་གྲངས་རིག་གི་བརྒྱུད་རིམ་ཧ་ཅང་སྟབས་བདེ་བཟོས་ཡོད། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ཡིས་ཚིག་ཉུང་མདོར་བསྡུས་ཀྱི་སྒོ་ནས་དོན་སྤྱི་དང་ཆོས་ཉིད་གསལ་བོར་མཚོན་པས། གྲངས་རིག་མཚན་ཉིད་ལ་གོ་བ་ལེན་པ་ཇེ་སླ་རུ་བཏང་ཡོད། གྲངས་རིག་སློབ་སྦྱོང་བྱེད་པའི་བརྒྱུད་རིམ་ནི། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་སློབ་པ་དང་བེད་སྤྱོད་བྱེད་པའི་བརྒྱུད་རིམ་ཡིན། སློབ་མས་ཆུ་ཚད་དང་མཐུན་པའི་སྒོ་ནས་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཐུབ་ཚེ། གྲངས་རིག་གི་བསམ་གཞིགས་དང་ཤེས་བྱ་བརྗེ་རེས་བྱེད་པའི་ལག་ཆ་ཞིག་ཡོད་པ་དང་མཚུངས། བསླབ་ཚན་མང་པོའི་ཁྲོད་དུ་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་བཀོལ་ཡོད་པས། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ཡང་བསླབ་ཚན་དེ་ཚོའི་སློབ་སྦྱོང་ལ་འབྲེལ་བ་དམ་པོ་ཡོད། གལ་ཏེ་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ལ་རྒྱུས་ལོན་མ་བྱས་ན། ཀློག་འདོན་དང་བསམ་བློ་བརྗེ་རེས་བྱེད་པ་ལ་དཀའ་ངལ་ཆེན་པོ་ཡོད། དེར་མ་ཟད་གཞན་གྱིས་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་བཀོལ་ནས་མཚོན་པའི་ལྟ་བ་ལ་ཡང་གོ་བ་ལེན་པ་ཧ་ཅང་དཀའ། གལ་ཏེ་སྦྱོང་པ་པོའི་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པས་མ་འདང་ན། མཚན་ཉིད་དང་སྤྱི་འགྲོས་ལ་གོ་བ་ལེན་མི་ཐུབ་པར། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་ཇེ་མཐོར་བཏང་ན། གྲངས་རིག་གི་བསམ་གཞིགས་དང་ནུས་པ་ལ་ཡང་དོན་སྙིང་ཧ་ཅང་ཆེན་པོ་ཡོད། དེ་བས། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་སྐྱེད་སྲིང་བྱེད་པ་ནི། ཧ་ཅང་གི་གལ་ཆེན་ཡིན་པ་ཀུན་གྱིས་ཤེས་གསལ་རེད།

བཞི་པ། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་སྐྱེད་སྲིང་བྱེད་པའི་སློབ་ཁྲིད་ཐབས་ཇུས།

གཅིག གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་གོ་བ་ལེན་སྟངས་དང་ནུས་པ་སྦྱོང་བརྡར།

གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ལ་ཡང་དག་དང་ཚགས་དམ་རང་བཞིན་ལྡན་པས། སློབ་མས་གྲངས་རིག་ཁྲོད་ཀྱི་མཚན་ཉིད་དང་ངེས་སྲོལ། ཡང་ན་ར་སྤྲོད་བརྒྱུད་རིམ་ཞིག་གསལ་འགྲེལ་བྱེད་སྐབས། ངེས་པར་དུ་དེའི་ནང་གི་ཐ་སྙད་རེ་རེ་དང་གྲངས་རིག་མཚོན་རྟགས་རེ་རེ་ཡི་ཡང་དག་གི་གོ་དོན་ལ་གོ་བ་ལོན་དགོས། གོ་དོན་མི་ཤེས་པའི་ཐ་སྙད་གཏན་ནས་སྣང་མེད་དུ་འཇོག་མི་རུང་། དེའི་རྐྱེན་གྱིས། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་སློབ་སྦྱོང་ཁྲོད་དུ་ཐ་སྙད་ལ་ཡང་དག་གིས་གོ་བ་ལེན་པ་ཧ་ཅང་གལ་ཆེན་ཡིན། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་སློབ་ཁྲིད་ཁྲོད་དུ། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ཐ་སྙད་གསལ་སྟོན་བྱེད་པ་ལ་མཉམ་འཇོག་བྱེད་དགོས། སློབ་ཁྲིད་བྱེད་སྐབས། སྐད་བརྡའི་ནང་དོན་ལ་འགྲེལ་བཤད་བྱེད་དགོས་པ་མ་ཟད། ཚིག་གྲུབ་སྦྱོར་སྟངས་ལ་ཡང་མཉམ་འཇོག་དགོས།དཔེར་ན། རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཀྱི་མཚོན་རྟགསf（x）དེ་ཕྱོགས་འགའ་ནས་འགྲེལ་བཤད་བྱས་ཆོག དང་པོ། གཞི་རྩའི་གོ་དོན་ཤེས་པ། f（x）ནི་རང་འགྱུར་ཚདxཡིན་པའི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཤིག་ཡིན། དེ་ཡིས་ལྟོས་ཟླའི་འབྲེལ་བ་ཞིག་མཚོན་ལ།ཡིན་སྐབས།ཡིན་ན།ཡིན། f（a）ནི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་དེaམཚམས་ཀྱི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཐང་ཡིན། གཉིས་པ། ལྟོས་ཟླ་ཞེས་པ་ལ་གོ་བ་ལེན་པ། f（x）ཡི་ལྟོས་ཟླའི་འབྲེལ་བ་ཞིག་མཚོན་ལ། དཔེར་ན། x+3སྐབས། f（x）+3དང་ལྟོས་ཟླ་མིན་པར།དང་ལྟོས་ཟླ་ཡིན། གསུམ་པ། f（x）ལ་སྔར་ལས་ལྷག་པའི་གོ་བ་ལེན་པ། དཔེར་ན། སློབ་མ་ལཡིན་པ། f（x）བརྩི་དགོས་བཅས་གང་མང་གི་དྲི་བ་བཏོན་ཏེ་བསམ་བློ་གཏོང་དུ་བཅུག་ན། f（x）ལ་སྔར་ལས་ལྷག་པའི་གོ་བ་ཞིག་ལེན་པར་ཕན་ཐོགས་ཡོད།གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་དང་རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་བར་ཕན་ཚུན་བརྗེ་རེས་བྱེད་པ་ནི། སློབ་མའི་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་གོང་འཕེལ་འགྲོ་བའི་ཐབས་ལམ་ཡིན། གྲངས་རིག་ཁྲོད་ཀྱི་མཚོན་རྟགས་གང་ཡིན་རུང་། ཚང་མ་ནི་འཚོ་བ་དངོས་ནས་འབྱུང་བ་ཡིན་ལ། ཡིན་ཡང་སློབ་མར་མཚོན་ན་ལྐོག་གྱུར་རང་བཞིན་ཆེན་པོ་ལྡན། སློབ་མས་རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་ལ་གོ་བ་ལེན་སླ་ལ། དེ་བས། དགེ་རྒན་གྱིས་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་སློབ་ཁྲིད་བྱེད་སྐབས། རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡས་འགྲེལ་བཤད་བྱས་ན་སློབ་མར་ཧ་ཅང་ཕན། དེ་ནི། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡར་ཕབ་སྟེ། སློབ་མས་གོ་བ་ལེན་པ་ལ་རམ་འདེགས་བྱེད་པ་ཡིན། ཕྱོགས་གཞན་ནས། སློབ་མའི་རྒྱུན་སྤྱོད་སྐད་བརྡ་དེར་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་ལ་བརྗེ་རེས་བྱེད་པའི་ནུས་པ་ཡང་སྦྱོང་བརྡར་བྱེད་དགོས། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་བར་གྱི་ཕན་ཚུན་བརྗེ་རེས་བྱེད་པ་དེས། དྲི་བ་ཐག་གཅོད་པར་སྟབས་བདེ་བཟོ་ཐུབ། དཔེར་ན། x+y=2ཡིན་ལ།ཡི་ཆེས་ཆུང་གྲངས་ཐང་རྩིས་ཞེས་པ་དེ། དྲང་ཐིགx+y=2ཡི་སྟེང་གི་ཚེག་དང་མ་ཚེག་བར་གྱི་ཆེས་ཐུང་བའི་བར་ཐག་རྩིས་ཞེས་སྒྱུར་ན་ཆོག དེར་མ་ཟད། ཡང་མ་ཚེག་ནས་དྲང་ཐིགx+y=2བར་གྱི་བར་ཐག་རྩིས་ཞེས་ན་ཆོགདོན་དངོས་སུ། སྐད་བརྡ་རིགས་གསུམ་པོ་ཕན་ཚུན་བརྗེ་རེས་བྱེད་ཆོག་ལ། ཁོང་ཚོ་ནི་གཅིག་ལ་གཅིག་བརྟེན་བྱས་ནས་གྲུབ་ཡོད།

གཉིས། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་བེད་སྤྱོད་དང་མཛུབ་སྟོན།

དགེ་རྒན་ཞིག་གི་སློབ་ཁྲིད་བྱེད་སྐབས་ཀྱི་གཏམ་གླེང་དང་བྱ་སྤྱོད་ཚང་མ་ནི། སློབ་མ་ལ་སློབ་གསོ་དང་དཔེ་སྟོན་བྱེད་པ་ཡིན། དེའི་རྐྱེན་གྱིས། གྲངས་རིག་དགེ་རྒན་ཞིག་གི་སྐད་བརྡ་ཡང་སློབ་མས་དཔེ་ལྟ་ས་ཡིན། དགེ་རྒན་གྱིས་ཚད་ལྡན་གྱི་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་བེད་སྤྱད་ན། སློབ་མ་ལ་ཡང་ཤུགས་རྐྱེན་ཡོད་པས། སློབ་མའི་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་ཇེ་མཐོར་འགྲོ་བར་ཕན་ནུས་ཆེན་པོ་ཡོད། དགེ་རྒན་གྱིས་ཚད་ལྡན་སྐད་བརྡ་བཤད་པ་མ་ཟད། ད་དུང་གྲངས་རིག་ཁྲོད་ཀྱི་རྩིས་ཕྲེང་གང་མང་ཞིག་སྐད་བརྡའི་བཤད་སྟངས་ཀྱི་སྒྲ་འཇོག་མཚམས་ལ་བརྟེན་ཡོད། དཔེར་ན།

དེx(མཚམས་འཇོག)སྣོནyཆའི་གཅིག་ལྟར་འདོན་དགོས་ལ། གལ་ཏེ་སྒྲ་ཡི་འཇོག་མཚམས་ལ་མི་བརྟེན་ན། སློབ་མསལྟར་འབྲི། ད་དུང་། དགེ་རྒན་གྱིས་ནག་པང་ལ་ཡི་གེ་འབྲི་དུས་ཀྱང་ཚད་ལྡན་བྱེད་དགོས། གལ་ཏེ། དགེ་རྒན་གྱིས་བྲིས་པའི་ཡི་གེ་ཡག་ལ་གསལ་ན། སློབ་མར་ཧ་ཅང་བཟང་བའི་ལད་མོ་བྱ་ཡུལ་ཞིག་སྟེར་ཐུབ་པ་མ་ཟད། སློབ་ཁྲིད་ཀྱི་དཀའ་གཙོ་གནད་ཀྱང་གསལ་བོ་སྟོན་ཐུབ། ཡང་དཔེར་ན།ལྟ་བུའི་རྩིས་ཕྲེང་ལ། དགེ་རྒན་གྱིས་ཡིག་ཐོག་ནས་མཚོན་པ་ལས། ངག་ཐོག་གིས་མཚོན་མི་ཐུབ། དེའི་རྐྱེན་གྱིས། ནག་པང་སྟེང་དུ་ཡི་གེ་ཚད་ལྡན་བྲིས་ན་སློབ་མའི་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་སྐྱེད་སྲིང་བྱེད་པར་དོན་སྙིང་ཧ་ཅང་ཆེན་པོ་ཡོད།སློབ་ཁྲིད་ཁྲོད་དུ། དགེ་རྒན་གྱིས་སློབ་མ་ལ་སྐད་བརྡ་བཤད་པའི་གོ་སྐབས་སྟེར་དགོས། གྲངས་རིག་གི་འདྲི་གཞི་ཁ་ཤས་ལ། དགེ་རྒན་གྱིས་ངག་ཐོག་ནས་ངོ་སྤྲོད་བྱེད་པ་དང་། སློབ་མས་ངག་ཐོག་གི་གྲངས་རིག་འདྲི་གཞི་སླ་མོ་འགའ་བརྗོད་ཤེས་པར་བྱེད་དགོས། སློབ་ཚན་རྗེས་ཀྱི་སྦྱོང་ཚན་དག་ལ། དགེ་རྒན་གྱིས་སློབ་མར་ཞིབ་བརྗོད་དང་གྲོས་སྡུར་བྱེད་དུ་བཅུག་སྟེ། སློབ་མའི་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་སྦྱོང་བརྡར་བྱེད་དགོས། ཡིན་ཡང་ཅུང་དཀའ་བའི་འདྲི་གཞི་འགའ་ལ། ཐོག་མར་སློབ་མར་གྲོས་སྡུར་བྱེད་དུ་བཅུག་སྟེ། དེ་ནས་སློབ་མ་ཞིག་ལ་རང་གི་ལྟ་བ་དང་འདྲི་གཞི་བཀྲོལ་བའི་བརྒྱུད་རིམ་བཤད་དུ་འཇུག་དགོས། དེ་རྗེས་ད་གཟོད་དགེ་རྒན་གྱིས་ཕྱོགས་བསྡོམས་བྱས་ན། སློབ་མ་ཚོར་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་འབྲེལ་འདྲིས་དང་གྲོས་སྡུར་བྱེད་པར་གོ་སྐབས་བཟང་བོ་བསྐྲུན་ཐུབ།བསླབ་དེབ་ནི་ཤེས་བྱའི་འབྱུང་ཁུངས་དང་རིག་ཚན་གང་དེའི་གཞུང་ལུགས་ཀྱི་མ་ལག་ཆ་ཚང་བར་སྟོན་པའི་ལག་ཆ་གལ་ཆེན་ཞིག་ཏུ་མཐོང་བས། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡས་འདྲི་གཞི་མཚོན་པའི་མ་དཔེ་ཡང་ཡིན། སློབ་མས་སློབ་དེབ་ཀློག་འདོན་བྱེད་པའི་བརྒྱུད་རིམ་ཁྲོད་དུ། དགེ་རྒན་གྱིས་སློབ་མ་རང་ཉིད་ལ་གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་གོ་བ་ལེན་དུ་བཅུག་སྟེ། གསར་དུ་སློབ་པའི་ཤེས་ཡོན་དེ་གསོག་ཉར་བྱེད་པ་དང་། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཤེས་པར་འཇུག་དགོས།

མདོར་ན། གྲངས་རིག་ནི་འཇིག་རྟེན་སྟེང་འཚོ་སྡོད་བྱེད་པའི་མིའི་རིགས་ཀྱི་མིག་ཡ་གཅིག་ཡིན་ཟེར་ན་མི་ཆོག་པ་ཡང་མེད་དེ། དངོས་ཡོད་གནད་དོན་ཐམས་ཅད་གྲངས་རིག་གནད་དོན་དུ་ཕབ་སྟེ་ཐག་གཅོད་པའི་རྣམ་པར་གཞིགས་ན། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡའི་ནུས་པ་སྐྱེད་སྲིང་བྱེད་པར་དོ་སྣང་ཆེན་པོ་བྱེད་དགོས་པ་ཡང་གནད་དེར་ཐུག་ཡོད། རྐྱེན་གང་དང་རྒྱུ་ཅི་ཞིག་གིས་མིའི་རིགས་ཚང་མ་གྲངས་རིག་པར་འཇུག་དགོས་པ་ཡང་གནད་འདི་ག་ལགས་སོ། །
དཔྱད་གཞིའི་ཡིག་ཆ།

[1]张楚延 数学文化[M]高等教育出版社2000.7

[2]鲍建生 数学语言的教学[J]数学通报1992（10）

[3]钟启泉 现代教学论发展[M]北京 教育科学出版社1998

[4]郑毓信 语言与数学教育[J]数学教育学报2004（3）

[5]刘云章 讲活符号 发展学生的符号感[J]湖南教育2006

[6]姚建荷 谈高中生数学语言能力的培养[J]教育研究与实践2008（10）

[7]金月波 加强学生数学语言能力的培养[J]湖南 琼州大学学报2006.

[8]郑德林 略谈数学教学中数学语言能力的培养[J]连云港师范高等专科学校学报2001.05

[9]邵光华 刘明海 数学语言及其教学研究[C]山东教育2004.4

[10]马树敬 学生数学语言表达能力的培养[J] 新课程研究2007